Desigualdades Valor Absoluto Ejercicios Resueltos
En matemáticas, el valor absoluto se refiere a la distancia de un número a cero en una recta numérica. El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero. Las desigualdades valor absoluto son una herramienta importante en matemáticas y se utilizan en una variedad de problemas, desde ecuaciones lineales hasta geometría.
¿Qué es una desigualdad valor absoluto?
Una desigualdad valor absoluto se parece a una ecuación, pero en lugar de un signo igual, tiene un signo de desigualdad. Por ejemplo, |x| < 5 es una desigualdad valor absoluto. Esto significa que el valor absoluto de x es menor que 5. En otras palabras, x puede ser cualquier número entre -5 y 5, pero no puede ser mayor que 5 o menor que -5.
Ejemplo:
Resuelve la desigualdad valor absoluto |2x + 3| > 5. Primero, descomponemos la desigualdad en dos ecuaciones: 2x + 3 > 5 y 2x + 3 < -5. Luego, resolvemos cada ecuación para encontrar los valores de x. En la primera ecuación, restamos 3 de ambos lados y obtenemos 2x > 2. Dividimos ambos lados por 2 para obtener x > 1. En la segunda ecuación, restamos 3 de ambos lados y obtenemos 2x < -8. Dividimos ambos lados por 2 para obtener x < -4. Por lo tanto, la solución para la desigualdad valor absoluto es -4 < x < 1.
Propiedades de las desigualdades valor absoluto
Las desigualdades valor absoluto tienen varias propiedades importantes:
- Si |a| < b, entonces -b < a < b.
- Si |a| > b, entonces a > b o a < -b.
- Si |a| = b, entonces a = b o a = -b.
Aplicaciones de las desigualdades valor absoluto
Las desigualdades valor absoluto se utilizan en una variedad de problemas matemáticos y aplicaciones prácticas. Por ejemplo, se utilizan en la geometría para describir el tamaño de los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo. También se utilizan en la física para describir la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento.
Ejemplo:
Un jugador de baloncesto tiene una precisión del 70% en tiros libres. Si intenta 20 tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que haga al menos 14 de ellos? Podemos usar una desigualdad valor absoluto para resolver este problema. Si x es el número de tiros libres que el jugador hace, entonces la probabilidad de que haga al menos 14 tiros libres es igual a:
P(|x-14| > 6) = 0,3
Podemos simplificar la desigualdad haciendo lo siguiente:
P(x < 8 o x > 20) = 0,3
Ahora podemos encontrar la probabilidad de cada evento individual:
P(x < 8) + P(x > 20) = 0,3
Podemos utilizar la distribución normal para encontrar la probabilidad de cada evento:
P(x < 8) = P(Z < -2,33) = 0,01
P(x > 20) = P(Z > 2,33) = 0,01
Por lo tanto, la probabilidad de que el jugador haga al menos 14 tiros libres es del 98%.
Conclusión
Las desigualdades valor absoluto son una herramienta importante en matemáticas y se utilizan en una variedad de problemas. Las propiedades de las desigualdades valor absoluto nos permiten simplificar y resolver problemas de manera eficiente. Con una comprensión sólida de las desigualdades valor absoluto, podemos abordar problemas matemáticos más complejos y aplicaciones prácticas en la vida cotidiana.
¡Recuerda practicar y seguir aprendiendo!
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