Inecuaciones De Valor Absoluto Ejercicios: Todo Lo Que Necesitas Saber

Inecuaciones con valor absoluto (ejercicios resueltos) Matemática from matematicauniversitaria.com

Bienvenido al artículo donde te explicaremos todo lo que necesitas saber sobre inecuaciones de valor absoluto ejercicios. Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que te hayas encontrado con este tema. Si aún no sabes de qué se trata, no te preocupes, aquí te lo explicamos todo de manera sencilla y fácil de entender.

¿Qué son las inecuaciones de valor absoluto?

Las inecuaciones de valor absoluto son aquellas en las que aparece una expresión algebraica que involucra una función de valor absoluto. Esta función se representa con dos barras verticales y su resultado siempre es un número positivo o cero. Las inecuaciones de valor absoluto pueden ser de dos tipos: con una variable o con dos variables.

Inecuaciones de valor absoluto con una variable

Las inecuaciones de valor absoluto con una variable se resuelven de la siguiente manera:

Se despeja la variable dentro de la función de valor absoluto.

Se plantean dos ecuaciones: una igualando la función de valor absoluto a un número positivo y otra igualándola a un número negativo.

Se resuelven ambas ecuaciones y se obtienen dos soluciones.

Se construye un intervalo con las dos soluciones obtenidas.

Se comprueba qué valores de la variable hacen que la función de valor absoluto sea mayor o igual a cero y cuáles hacen que sea menor que cero.

Finalmente, se construye la inecuación con los valores que cumplen la condición.

Inecuaciones de valor absoluto con dos variables

Las inecuaciones de valor absoluto con dos variables se resuelven de manera similar a las de una variable:

Se despeja una de las variables dentro de la función de valor absoluto.

Se plantean cuatro ecuaciones: dos igualando la función de valor absoluto a un número positivo y dos igualándola a un número negativo.

Se resuelven las cuatro ecuaciones y se obtienen cuatro soluciones.

Se construyen cuatro intervalos con las cuatro soluciones obtenidas.

Se comprueba qué valores de las variables hacen que la función de valor absoluto sea mayor o igual a cero y cuáles hacen que sea menor que cero.

Finalmente, se construye la inecuación con los valores que cumplen la condición.

Ejemplos de inecuaciones de valor absoluto

Veamos algunos ejemplos para entender mejor cómo se resuelven las inecuaciones de valor absoluto:

Ejemplo 1

Resuelve la inecuación |x + 3| > 5.

Para resolver esta inecuación, despejamos la variable dentro de la función de valor absoluto:

x + 3 > 5 ó x + 3 < -5

Resolvemos ambas ecuaciones:

x > 2 ó x < -8

Construimos el intervalo con las dos soluciones:

-8 < x < 2

Comprobamos qué valores de la variable hacen que la función de valor absoluto sea mayor o igual a cero y cuáles hacen que sea menor que cero:

Si x < -3, entonces x + 3 < 0 y |x + 3| = -(x + 3).

Si -3 ≤ x ≤ 2, entonces x + 3 ≥ 0 y |x + 3| = x + 3.

Si x > 2, entonces x + 3 > 0 y |x + 3| = x + 3.

Finalmente, construimos la inecuación con los valores que cumplen la condición:

-8 < x < -3 ó x > 2

Ejemplo 2

Resuelve la inecuación |x - 2| < |3x + 1|.

Para resolver esta inecuación, despejamos una de las variables dentro de la función de valor absoluto, por ejemplo, x - 2:

|x - 2| < |3x + 1|

x - 2 < 3x + 1 y x - 2 > -(3x + 1)

Resolvemos ambas ecuaciones:

-1 < x < 3/2

Construimos los intervalos con las cuatro soluciones:

x - 2 < 3x + 1 y x - 2 < -(3x + 1)

x - 2 > 3x + 1 y x - 2 > -(3x + 1)

Resolvemos ambas ecuaciones:

-1 < x < 1/2 y x < -1 ó x > 5/2

Comprobamos qué valores de las variables hacen que la función de valor absoluto sea mayor o igual a cero y cuáles hacen que sea menor que cero:

Si x < -1, entonces x - 2 < 0 y 3x + 1 < 0 y |x - 2| = -(x - 2) y |3x + 1| = -(3x + 1).

Si -1 ≤ x < 1/2, entonces x - 2 < 0 y 3x + 1 > 0 y |x - 2| = -(x - 2) y |3x + 1| = 3x + 1.

Si 1/2 ≤ x < 3/2, entonces x - 2 > 0 y 3x + 1 > 0 y |x - 2| = x - 2 y |3x + 1| = 3x + 1.

Si x > 5/2, entonces x - 2 > 0 y 3x + 1 > 0 y |x - 2| = x - 2 y |3x + 1| = 3x + 1.

Finalmente, construimos la inecuación con los valores que cumplen la condición:

-1 < x < 1/2 ó 5/2 < x < 3/2

Conclusión

En resumen, las inecuaciones de valor absoluto son un tema importante en matemáticas que se pueden resolver de manera sencilla siguiendo los pasos adecuados. Esperamos que este artículo te haya sido de ayuda para entender mejor cómo funcionan y cómo se resuelven.

Recuerda practicar mucho para afianzar tus conocimientos y no dudes en consultar a tu profesor o tutor si tienes alguna duda o pregunta.

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Source: profe-alexz.blogspot.com

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