La Ecuación De La Circunferencia En Su Forma Canónica
La ecuación de la circunferencia es una herramienta fundamental en la geometría analítica. Esta ecuación describe una circunferencia en un plano cartesiano. En este artículo, vamos a discutir la ecuación de la circunferencia en su forma canónica.
¿Qué es la circunferencia?
La circunferencia es una figura geométrica compuesta por todos los puntos en un plano que están a una distancia constante (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro).
La Ecuación de la Circunferencia en Su Forma General
La ecuación de la circunferencia en su forma general es:
(x - h)² + (y - k)² = r²
donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
La Ecuación de la Circunferencia en Su Forma Canónica
La forma canónica de la ecuación de la circunferencia es:
x² + y² + ax + by + c = 0
donde a, b, y c son constantes y representan el centro y el radio de la circunferencia. Para convertir la ecuación de la circunferencia de su forma general a su forma canónica, podemos completar el cuadrado.
Completar el Cuadrado
Para completar el cuadrado, primero debemos reorganizar la ecuación de la circunferencia en su forma general.
x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²
A continuación, agrupamos los términos que tienen x y los términos que tienen y.
(x² - 2hx + h²) + (y² - 2ky + k²) = r²
Luego, completamos el cuadrado para x y y. Para completar el cuadrado para x, añadimos (a²/4) al primer paréntesis y restamos (a²/4) al segundo paréntesis. Para completar el cuadrado para y, añadimos (b²/4) al primer paréntesis y restamos (b²/4) al segundo paréntesis.
(x - h)² - (a²/4) + (y - k)² - (b²/4) = r² - h² - k²
Finalmente, simplificamos la ecuación para obtener la forma canónica.
(x - h)² + (y - k)² = a²/4 + b²/4 - c
Ejemplo
Supongamos que tenemos una circunferencia con centro en (2, -3) y radio de 5 unidades. Primero, encontramos la ecuación de la circunferencia en su forma general.
(x - 2)² + (y + 3)² = 25
A continuación, completamos el cuadrado para obtener la ecuación de la circunferencia en su forma canónica.
x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0
En este caso, a = -4, b = 6, y c = 4.
Conclusión
La ecuación de la circunferencia es una herramienta importante en la geometría analítica. La forma canónica de la ecuación de la circunferencia es útil en ciertas situaciones porque es más fácil de trabajar que la forma general. Al completar el cuadrado, podemos convertir la ecuación de la circunferencia de su forma general a su forma canónica.
Recuerda que la práctica hace al maestro, así que sigue practicando y mejorando tus habilidades en la geometría analítica.
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