Desigualdades No Lineales Ejercicios Resueltos
En el mundo de las matemáticas, las desigualdades no lineales son un tema importante y desafiante. A menudo, los estudiantes tienen dificultades para comprender cómo resolver estos problemas, pero con la práctica y una comprensión sólida de los conceptos subyacentes, cualquier persona puede dominar este tema. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos de desigualdades no lineales.
Definición de desigualdades no lineales
Antes de comenzar a resolver ejercicios de desigualdades no lineales, es importante entender qué son. Las desigualdades no lineales son ecuaciones que involucran términos no lineales, como exponentes, radicales o funciones trigonométricas. Debido a estos términos no lineales, las soluciones no se pueden encontrar simplemente despejando la incógnita.
Ejercicio 1
Resuelva la siguiente desigualdad no lineal:
$$3x^3 - 2x^2 - 5x + 2 < 0$$
Para resolver este ejercicio, podemos utilizar el método de las pruebas de signo. Primero, factorizamos la ecuación:
$$3x^3 - 2x^2 - 5x + 2 = (x-1)(3x^2+x-2)$$
Luego, colocamos los valores críticos en una recta numérica y determinamos el signo de la expresión en cada intervalo:
Por lo tanto, la solución a la desigualdad es:
$$x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup (1, \infty)$$
Ejercicio 2
Resuelva la siguiente desigualdad no lineal:
$$\frac{1}{x^2+3x+2} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver este ejercicio, podemos utilizar el método de las fracciones parciales. Primero, factorizamos el denominador de la fracción:
$$\frac{1}{x^2+3x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$$
Luego, descomponemos la fracción en fracciones parciales:
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$$
Resolviendo para A y B, obtenemos:
$$A = \frac{1}{x+2}, B = -\frac{1}{x+1}$$
Luego, sustituimos estas fracciones en la desigualdad original:
$$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1} \leq \frac{1}{2}$$
Despejando la fracción, obtenemos:
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} \leq \frac{1}{2}$$
De nuevo, factorizamos el denominador y colocamos los valores críticos en una recta numérica:
Por lo tanto, la solución a la desigualdad es:
$$x \in (-2, -1]$$
Conclusión
Las desigualdades no lineales pueden parecer abrumadoras al principio, pero con la práctica y una comprensión sólida de los conceptos subyacentes, cualquier persona puede dominar este tema. En este artículo, hemos explorado algunos ejercicios resueltos de desigualdades no lineales utilizando diferentes métodos. Esperamos que este artículo haya sido útil y haya mejorado su comprensión de las desigualdades no lineales.
Recuerde siempre practicar y estar seguro de sus respuestas.
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