Ejercicios Funciones Inyectivas Sobreyectivas Y Biejectivas
Las funciones son uno de los temas más importantes en el ámbito de las matemáticas. Y dentro del estudio de las funciones, uno de los conceptos clave es el de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
¿Qué es una función inyectiva?
Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto de partida se corresponde con un único elemento del conjunto de llegada. En otras palabras, si no hay dos elementos del conjunto de partida que se correspondan con el mismo elemento del conjunto de llegada.
Un ejemplo de función inyectiva es:
Ya que cada valor de x se corresponde con un único valor de y:
¿Qué es una función sobreyectiva?
Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida. En otras palabras, si no hay elementos en el conjunto de llegada que no tengan preimagen en el conjunto de partida.
Un ejemplo de función sobreyectiva es:
Puesto que cualquier número real positivo tiene una raíz cuadrada que es también un número real positivo, y por lo tanto tiene una preimagen en el conjunto de partida.
¿Qué es una función biyectiva?
Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. En otras palabras, si cada elemento del conjunto de partida se corresponde con un único elemento del conjunto de llegada, y además cada elemento del conjunto de llegada es imagen de exactamente un elemento del conjunto de partida.
Un ejemplo de función biyectiva es:
Ya que cada valor de x se corresponde con un único valor de y, y cada valor de y tiene una única preimagen en el conjunto de partida.
Ejercicios de funciones inyectivas sobreyectivas y biyectivas
Para practicar el concepto de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, a continuación se presentan algunos ejercicios:
Ejercicio 1
Determine si la función f(x) = 2x + 1 es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Solución:
Para determinar si la función es inyectiva, hay que ver si dos valores distintos de x tienen la misma imagen. Supongamos que f(a) = f(b). Entonces:
Por lo tanto, la función es inyectiva. Para determinar si es sobreyectiva, hay que ver si todo valor de y tiene al menos una preimagen. Supongamos que queremos encontrar un valor de x tal que f(x) = y. Entonces:
Por lo tanto, todo valor de y tiene al menos una preimagen, y la función es sobreyectiva. Como la función es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva.
Ejercicio 2
Determine si la función f(x) = x^2 es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Solución:
Para determinar si la función es inyectiva, hay que ver si dos valores distintos de x tienen la misma imagen. Supongamos que f(a) = f(b). Entonces:
Por lo tanto, la función no es inyectiva, ya que hay dos valores distintos de x que tienen la misma imagen. Para determinar si es sobreyectiva, hay que ver si todo valor de y tiene al menos una preimagen. Supongamos que queremos encontrar un valor de x tal que f(x) = y. Entonces:
Por lo tanto, todo valor de y positivo tiene dos preimágenes, y la función no es sobreyectiva. Como la función no es inyectiva ni sobreyectiva, no es biyectiva.
Ejercicio 3
Determine si la función f(x) = x + 3 es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Solución:
Para determinar si la función es inyectiva, hay que ver si dos valores distintos de x tienen la misma imagen. Supongamos que f(a) = f(b). Entonces:
Por lo tanto, la función es inyectiva. Para determinar si es sobreyectiva, hay que ver si todo valor de y tiene al menos una preimagen. Supongamos que queremos encontrar un valor de x tal que f(x) = y. Entonces:
Por lo tanto, todo valor de y tiene una única preimagen, y la función es sobreyectiva. Como la función es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva.
Conclusión
Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son conceptos clave en el estudio de las matemáticas. A través de ejercicios y ejemplos, es posible comprender mejor estos conceptos y su aplicación en diferentes situaciones.
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