Identidad Trigonométrica Ejercicios Resueltos
La trigonometría es una parte importante de las matemáticas, que se enfoca en el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo. Una de las herramientas más útiles en este campo son las identidades trigonométricas, que son ecuaciones que relacionan diferentes funciones trigonométricas. En este artículo, te presentaremos algunos ejercicios resueltos sobre identidades trigonométricas.
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Antes de empezar con los ejercicios, es importante recordar las identidades trigonométricas fundamentales. Estas son:
- sen²(x) + cos²(x) = 1
- 1 + tan²(x) = sec²(x)
- 1 + cot²(x) = csc²(x)
Estas ecuaciones son muy útiles para simplificar expresiones trigonométricas complicadas.
Ejercicio 1
Resuelve la siguiente expresión:
cos(x) * sec(x) - sen(x)
Primero, sustituimos sec(x) por 1/cos(x), utilizando la identidad 1 + tan²(x) = sec²(x):
cos(x) * (1/cos(x)) - sen(x) = 1 - sen(x)
Por lo tanto, la expresión simplificada es 1 - sen(x).
Ejercicio 2
Resuelve la siguiente expresión:
sen(x) * csc(x) - cos(x)
Primero, sustituimos csc(x) por 1/sen(x), utilizando la identidad 1 + cot²(x) = csc²(x):
sen(x) * (1/sen(x)) - cos(x) = 1 - cos(x)
Por lo tanto, la expresión simplificada es 1 - cos(x).
Ejercicio 3
Resuelve la siguiente expresión:
sen(x) * cot(x) * cos(x)
Primero, sustituimos cot(x) por cos(x)/sen(x), utilizando la identidad 1 + cot²(x) = csc²(x):
sen(x) * (cos(x)/sen(x)) * cos(x) = cos²(x)
Por lo tanto, la expresión simplificada es cos²(x).
Ejercicio 4
Resuelve la siguiente expresión:
tan(x) * sec(x)
Primero, sustituimos sec(x) por 1/cos(x), utilizando la identidad 1 + tan²(x) = sec²(x):
tan(x) * (1/cos(x)) = sen(x)/cos(x)
Por lo tanto, la expresión simplificada es sen(x)/cos(x), que es igual a la función tangente.
Ejercicio 5
Resuelve la siguiente expresión:
cos(x) / (1 + sen(x))
Para simplificar esta expresión, multiplicamos el numerador y el denominador por (1 - sen(x)):
cos(x) * (1 - sen(x)) / ((1 + sen(x)) * (1 - sen(x))) = cos(x) - sen(x) * cos(x)
Por lo tanto, la expresión simplificada es cos(x) - sen(x) * cos(x).
Conclusion
Las identidades trigonométricas son herramientas importantes para simplificar expresiones y resolver problemas en trigonometría. En este artículo, repasamos algunas identidades fundamentales y resolvimos algunos ejercicios utilizando estas identidades. Esperamos que este artículo te haya sido útil para mejorar tus habilidades en trigonometría.
¡Sigue practicando para mejorar tus habilidades en matemáticas!
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