Función Inyectiva, Sobreyectiva Y Biyectiva: Ejercicios Resueltos

December 12, 2024 Post a Comment

Función inyectiva sobreyectiva biyectiva from www.slideshare.net

En el mundo de la matemática, las funciones juegan un papel muy importante en la resolución de problemas y en la comprensión de las relaciones entre diferentes conjuntos. En particular, las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son de gran importancia en diversos campos de la matemática, como el análisis, la geometría y la teoría de números. En este artículo, exploraremos estas funciones en detalle y resolveremos algunos ejercicios prácticos para comprender mejor su utilidad.

Funciones inyectivas

Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada (o conjunto imagen) está asociado con un único elemento del conjunto de partida. En otras palabras, no hay dos elementos distintos del conjunto de partida que se asocien con el mismo elemento del conjunto de llegada. Matemáticamente, esto se expresa como:

f(x₁) = f(x₂) implica x₁ = x₂

Por ejemplo, la función f(x) = 2x es inyectiva, ya que cada elemento del conjunto de llegada está asociado con un único elemento del conjunto de partida. Si f(x₁) = f(x₂), entonces 2x₁ = 2x₂, lo que implica que x₁ = x₂.

Para demostrar que una función es inyectiva, se puede utilizar el método de la prueba directa o la prueba contrarrecíproca. En la prueba directa, se asume que f(x₁) = f(x₂) y se demuestra que x₁ = x₂. En la prueba contrarrecíproca, se asume que x₁ ≠ x₂ y se demuestra que f(x₁) ≠ f(x₂).

Funciones sobreyectivas

Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada está asociado con al menos un elemento del conjunto de partida. En otras palabras, no hay elementos del conjunto de llegada que no estén asociados con algún elemento del conjunto de partida. Matemáticamente, esto se expresa como:

Para todo y en Y, existe al menos un x en X tal que f(x) = y

Por ejemplo, la función f(x) = x² es sobreyectiva, ya que cualquier número real positivo tiene una raíz cuadrada positiva que es un elemento del conjunto de partida.

Para demostrar que una función es sobreyectiva, se puede utilizar el método de la prueba directa o la prueba contrarrecíproca. En la prueba directa, se toma un elemento arbitrario del conjunto de llegada y se demuestra que existe al menos un elemento del conjunto de partida que está asociado con él. En la prueba contrarrecíproca, se asume que no existe un elemento del conjunto de partida que esté asociado con un elemento del conjunto de llegada y se demuestra que esto lleva a una contradicción.

Funciones biyectivas

Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. En otras palabras, cada elemento del conjunto de llegada está asociado con un único elemento del conjunto de partida y cada elemento del conjunto de llegada está asociado con al menos un elemento del conjunto de partida. Matemáticamente, esto se expresa como:

Para todo y en Y, existe un único x en X tal que f(x) = y

Por ejemplo, la función f(x) = x es biyectiva, ya que cada número real está asociado con un único número real y cada número real está asociado con al menos un número real.

Para demostrar que una función es biyectiva, se puede utilizar el método de la prueba directa o la prueba contrarrecíproca. En la prueba directa, se demuestra tanto la inyectividad como la sobreyectividad de la función. En la prueba contrarrecíproca, se asume que la función no es biyectiva y se demuestra que esto lleva a una contradicción.

Ejercicios resueltos

A continuación, se presentan algunos ejercicios prácticos que requieren la comprensión de las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

Determine si la función f(x) = x³ es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Encuentre una función inyectiva y sobreyectiva que no sea biyectiva.
Demuestre que la función f(x) = 2x + 1 es biyectiva.
Determine si la función f(x) = e^x es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Respuestas:

La función f(x) = x³ es inyectiva pero no sobreyectiva ni biyectiva. Para demostrar que es inyectiva, se asume que f(x₁) = f(x₂) y se demuestra que x₁ = x₂. Si f(x₁) = f(x₂), entonces x₁³ = x₂³, lo que implica que x₁ = x₂. Sin embargo, la función no es sobreyectiva ni biyectiva, ya que no todos los números reales tienen un cubo que es un número real. Por ejemplo, no hay un número real cuyo cubo sea -1.
Una función inyectiva y sobreyectiva que no sea biyectiva es f(x) = x en el intervalo [0,1) y f(x) = x + 1 en el intervalo [1,2]. Esta función es inyectiva y sobreyectiva, ya que cada número en [0,2) tiene un único elemento en el intervalo correspondiente que está asociado con él. Sin embargo, no es biyectiva, ya que los números 1 y 2 están asociados con dos elementos diferentes del conjunto de partida.
Para demostrar que la función f(x) = 2x + 1 es biyectiva, se debe demostrar tanto su inyectividad como su sobreyectividad. Para demostrar la inyectividad, se asume que f(x₁) = f(x₂) y se demuestra que x₁ = x₂. Si f(x₁) = f(x₂), entonces 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1, lo que implica que x₁ = x₂. Para demostrar la sobreyectividad, se toma un elemento arbitrario y se demuestra que existe al menos un elemento del conjunto de partida que está asociado con él. Si y = 2x + 1, entonces x = (y - 1)/2. Por lo tanto, para todo y en Y, existe un único x en X tal que f(x) = y.
La función f(x) = e^x es inyectiva y sobreyectiva pero no biyectiva. Para demostrar su inyectividad, se asume que f(x₁) = f(x₂) y se demuestra que x₁ = x₂. Si e^x₁ = e^x₂, entonces x₁ = x₂. Para demostrar su sobreyectividad, se toma un elemento arbitrario y se demuestra que existe al menos un elemento del conjunto de partida que está asociado con él. Si y = e^x, entonces x = ln(y). Por lo tanto, para todo y en Y, existe al menos un x en X tal que f(x) = y. Sin